Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có:

S n = a 1 + a 2 + ⋯ + a n = n ( a 1 + a n ) 2 = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] 2 . {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.}

Khi chứng minh công thức này, tổng riêng này được tách thành tổng của a1 với an, của a2 với an-1,... Một câu chuyện kể rằng Gauß đã tìm ra cách này khi học tiểu học để trả lới thầy giáo khi tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên (5050).

Chứng minh:

S n = a 1 + a 1 + d + a 1 + 2 d + … ⋯ + a 1 + ( n − 2 ) d + a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d+\dots \dots +a_{1}+(n-2)d+a_{1}+(n-1)d} S n = a n − ( n − 1 ) d + a n − ( n − 2 ) d + . . . + a n − 2 d + a n − d + a n {\displaystyle S_{n}=a_{n}-(n-1)d+a_{n}-(n-2)d+...+a_{n}-2d+a_{n}-d+a_{n}} ⇒ 2 S n = n ( a 1 + a n ) {\displaystyle \Rightarrow 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})} ⇒ S n = n ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle \Rightarrow S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}} . ⇒ S n = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] 2 {\displaystyle \Rightarrow S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}} .